\subsection{概念}

众所周知,三维空间中表示任一矢量的方法是:
在此空间中事先选定三个彼此独立的矢量作为一个坐标系,如某个Cartesian坐标基矢
$e_i\left(e_i \cdot e_j=\delta_{i j}, \sum_{i=1}^3e_i e_i=\hat{I}\right)$,
于是任一矢量$\boldsymbol{A}$便可以展开表示为

\begin{equation}
    A=\hat{L} A=\sum_{i=1}^3\left(e_i, e_i\right) A=\sum_{i=1}^3\left(A \cdot e_i\right) e_i \equiv \sum_{i=1}^3A_i e_i \equiv\left(A_1, A_2, A_3\right)
\end{equation}

这里,三个数$A_i$是$\boldsymbol{A}$与基矢量$\boldsymbol{e}_i$的标积,
是矢量$\boldsymbol{A}$在此坐标系中的坐标.接下来的标积、矢积、微分等各种运算便转化为对相应坐标进行数值运算.
就三维空间而言,这三个基矢构成正交、归一、完备基.三个要求的前两条是为了使用方便.
后一条决定它们是否有资格作为一个坐标系的基矢.
显然,这种表示方法依赖于坐标系(也即基矢)的选取.通常,选定了基矢也就是选定了坐标系,向某组基矢投影便进入了该坐标系.
坐标系有无穷多种取法.于是,三维空间中,同一矢量的表示方法会有无穷多种.
同一矢量各种表示之间可以相互转换,称为该矢量的坐标变换.不同坐标之间的变换取决于不同基矢组之间的转换.

当然,也可以不选取任何基矢,仍然将这些矢量抽象地写作$\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \cdots$,
并利用标积$\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B}$ 、矢积$\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}$
求导$\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{A}}{\mathrm{d} t}$等,
形式地表示对它们的代数运算或微积分运算.这是一种不依赖于基矢(即Cartesian坐标系)选取的抽象普适的表示方法.

总体来说,量子体系的情况和三维空间上面描述很类似,但量子体系的态矢空间—Hilbert空间常常是无穷维的,
所以基矢常常有无穷多个:有时是可数的无穷,有时是连续变化的无穷,视基矢所属力学量算符的本征值分布情况而定.
例如,对于可数的情况,选定一组正交归一完备的态矢组
$\left\{\left|\varphi_n\right\rangle, n=0,1,2, \cdots\right\}$作为基矢,态矢
空间中任一态矢$|A\rangle$即按这组基矢进行展开,展开系数$a_n$是$|A\rangle$向基矢
$\left|\phi_n\right\rangle$的投影(标积)

\begin{equation}
    |A\rangle=\sum_{n=0}^{\infty} a_n\left|\varphi_n\right\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}\left\langle\varphi_n \mid A\right\rangle\left|\varphi_n\right\rangle
\end{equation}

注意标积可能是复数,系数$a_n$可能是复数,这是另一条和三维空间情况不同之处.
由此,态矢$|A\rangle$便可以用这组复系数$\left\{a_n\right\}$来表示,
有时就称它们为该态矢（在这组基矢中)的波函数.而作用于态矢$|A\rangle$并使它变化的各种力学量算符,
便成了无穷维Hermite矩阵,决定着态矢之间的映射.
对于基矢为连续的、不可数无穷的情况,投影、内积、归一化等计算将涉及$\delta$函数,
而算符便成了微分或积分的形式,依然决定着态矢之间的映射.

每选择一组展开基矢,态空间便有了一种描述方式,就是选取了一种表象.
同时,将一个矢量方程向某组基矢投影,便意味着进入了相应的（由该组基矢所代表的）表象.
表象改变意味着状态空间中基矢改变.表象变换是一种幺正变换,选用不同基矢去描述同一体系,得到的全部物理结论都应当相同.
一个例子便是前面坐标表象到动量表象的幺正变换.

\subsection{常用表象}

几种常用的表象是坐标表象、动量表象和能量表象,它们分别相应于在状态空间对基矢的不同选取.

\subsubsection*{坐标表象}
这是选取了坐标算符的本征态集合$\left\{\left|r^{\prime}\right\rangle, \forall r^{\prime}\right\}$
作为态矢空间的展开基矢.于是,如前面所说,取定这组基矢便是取定了坐标表象,
任一矢量或矢量方程向这组基矢投影便是进入了这个表象
（对于多因子乘积的、复杂一些的方程，在转入坐标表象时,需要在方程所有乘积中间各自独立地插入坐标表象完备性条件).
显然,这组基矢是完备的,因为用它们足以展开任何态矢.
由于坐标算符本征值$\boldsymbol{r}^{\prime}$连续变化,
也即这组基矢的编号是连续的,所以坐标表象的完备性条件是

\begin{equation}
    \int |r^{\prime}\rangle \mathrm{d} r^{\prime}\langle r^{\prime}|=I
\end{equation}

与此相应,任一态矢$|A\rangle$的展开式就成为如下积分展开的形式:

\begin{equation}
    |A\rangle=\int \mathrm{d} \boldsymbol{r}^{\prime}\left|\boldsymbol{r}^{\prime}\right\rangle\left\langle\boldsymbol{r}^{\prime}|\cdot| A\right\rangle=\int \varphi_A\left(\boldsymbol{r}^{\prime}\right)\left|\boldsymbol{r}^{\prime}\right\rangle \mathrm{d} \boldsymbol{r}^{\prime}
\end{equation}


此处展开系数集合构成了$\boldsymbol{r}^{\prime}$的一个连续函数
$\left\langle r^{\prime} \mid A\right\rangle=\varphi_A\left(r^{\prime}\right)$.
函数$\phi_A\left(r^{\prime}\right)$就是态矢$|A\rangle$的波函数,
是态矢$|A\rangle$在坐标表象中的坐标.当然,也可以不借助态矢的语言,
办法是将该式向坐标表象基矢$|\boldsymbol{r}\rangle$投影,成为

\begin{equation}
    \varphi_A(\boldsymbol{r})=\int \varphi_A\left(\boldsymbol{r}^{\prime}\right)\left\langle\boldsymbol{r} \mid \boldsymbol{r}^{\prime}\right\rangle \mathrm{d} \boldsymbol{r}^{\prime}=\int \varphi_A\left(\boldsymbol{r}^{\prime}\right) \delta\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{\prime}\right) \mathrm{d} \boldsymbol{r}^{\prime}
\end{equation}

此式完全使用坐标表象的波函数语言解释了展开式.$\varphi_A\left(r^{\prime}\right)$是体系处在这样一个状态上,
粒子坐标取$r^{\prime}$的概率幅为$\varphi_A\left(r^{\prime}\right)$;现在可以等价地说成
$\varphi_A\left(r^{\prime}\right)$是态矢$|A\rangle$向坐标表象基矢$\left|r^{\prime}\right\rangle$
的投影（即与左矢$\left\langle r^{\prime}\right|$标积),是态矢$|A\rangle$在坐标表象中的坐标.

可以将态矢形式Schrödinger方程向坐标表象投影。为此注意,坐标表象的基矢不随时间变化,于是

\begin{equation}
    \left\{\begin{aligned}
        \langle\boldsymbol{r}| \mathrm{i} \hbar \frac{\partial|\psi(t)\rangle}{\partial t}                           & =\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial t}\langle\boldsymbol{r} \mid \psi(t)\rangle=\mathrm{i} \hbar \frac{\partial \psi(\boldsymbol{r}, t)}{\partial t}          \\
        \langle\boldsymbol{r}|\left(\frac{\hat{\boldsymbol{p}}^2}{2m}+V(\hat{\boldsymbol{r}})\right)| \psi(t)\rangle & =\left[\frac{1}{2m}\left(-\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^2+V(\boldsymbol{r})\right] \cdot\langle\boldsymbol{r} \mid \psi(t)\rangle \\
                                                                                                                     & =\left[\frac{1}{2m}\left(-\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^2+V(\boldsymbol{r})\right] \psi(\boldsymbol{r}, t)
    \end{aligned}\right.
\end{equation}

就得到以前的Schrödinger方程——在坐标表象中的Schrödinger波动方程.
另外,在坐标表象中也可对任意矩阵元进行计算.例如,对动能算符在坐标表象中的矩阵元,有

\begin{equation}
    \left\langle\boldsymbol{r}^{\prime}\left|\frac{\hat{\boldsymbol{p}}^2}{2m}\right| \boldsymbol{r}^{\prime \prime}\right\rangle=\left\{-i \hbar \frac{\partial}{\partial \boldsymbol{r}^{\prime}}\right\}^2\left\langle\boldsymbol{r}^{\prime} \mid \boldsymbol{r}^{\prime \prime}\right\rangle=-\frac{\hbar^2}{2m} \Delta^{\prime} \delta\left(\boldsymbol{r}^{\prime}-\boldsymbol{r}^{\prime \prime}\right)
\end{equation}
再例如,动能算符在两个任意态矢之间的矩阵元,在坐标表象中的计算办法是:
在适当地方插入坐标表象的完备性条件——这样做的实质即将各个量均向坐标表象投影. 如下:

\begin{equation}
    \begin{aligned}
        \left\langle A\left|\frac{\hat{p}^2}{2m}\right| B\right\rangle
         & =\iint\left\langle A \mid \boldsymbol{r}^{\prime}\right\rangle\left\langle\boldsymbol{r}^{\prime}\left|\frac{\hat{p}^2}{2m^2}\right| \boldsymbol{r}^{\prime \prime}\right\rangle\left\langle\boldsymbol{r}^{\prime \prime} \mid B\right\rangle \mathrm{d} \boldsymbol{r}^{\prime} \mathrm{d} \boldsymbol{r}^{\prime \prime} \\
         & =\iint \psi_A^*\left(\boldsymbol{r}^{\prime}\right)\left[-\frac{\hbar^2}{2m} \Delta^{\prime \prime} \delta\left(\boldsymbol{r}^{\prime}-\boldsymbol{r}^{\prime \prime}\right)\right] \psi_B\left(\boldsymbol{r}^{\prime \prime}\right) \mathrm{d} \boldsymbol{r}^{\prime} \mathrm{d} \boldsymbol{r}^{\prime \prime}         \\
         & =\iint \psi_A^{\prime}\left(\boldsymbol{r}^{\prime}\right) \delta\left(\boldsymbol{r}^{\prime}-\boldsymbol{r}^{\prime \prime}\right)\left[-\frac{\hbar^2}{2m} \Delta^{\prime \prime} \psi_B\left(\boldsymbol{r}^{\prime \prime}\right)\right] \mathrm{d} \boldsymbol{r}^{\prime} \mathrm{d} \boldsymbol{r}^{\prime \prime}  \\
         & =\int \psi_A^*\left(\boldsymbol{r}^{\prime}\right)\left(-\frac{\hbar^2}{2m} \Delta^{\prime}\right) \psi_B\left(\boldsymbol{r}^{\prime}\right) \mathrm{d} \boldsymbol{r}^{\prime}
    \end{aligned}
\end{equation}
这就是在坐标表象里对$\left\langle A\left|\frac{\hat{p}^2}{2m}\right| B\right\rangle$的具体解释.
推导中第三步等号利用了两次分部积分和$\psi_A\left(\right.$或$\left.\psi_B\right)$的束缚态边条件.

坐标表象最先由Schrödinger提出,所以这一表象也常称作Schrödinger表象.
在这种表述下的量子力学有时称为波动力学.

\subsubsection*{动量表象}.
这是选取了动量算符的本征态集合$\left\{\left|p^{\prime}\right\rangle, \forall p^{\prime}\right\}$
作为态矢空间的展开基矢.任意矢量或矢量方程向这组基矢投影
（若多因子乘积情况还须插入动量表象完备性条件,如同坐标表象中那样),便进入了动量表象.
同样,这组基矢也是完备的.由于动量算符本征值$p^{\prime}$也是连续变化的,动量基矢的编号也就是连续的,
于是完备性条件应当是

\begin{equation}
    \int\left|p^{\prime}\right\rangle \mathrm{d} p^{\prime}\left\langle p^{\prime}\right|=I
\end{equation}

而任一态矢$|A\rangle$在动量表象的展开式为

\begin{equation}
    |A\rangle=\int \mathrm{d} p^{\prime}\left|p^{\prime}\right\rangle\left\langle p^{\prime}|\cdot| A\right\rangle=\int \phi_A\left(p^{\prime}\right)\left|p^{\prime}\right\rangle \mathrm{d} p^{\prime}
\end{equation}

由于动量表象基矢的编号也是连续的,所以展开系数的集合构成变数$p^{\prime}$的一个连续函数
$\left\langle p^{\prime} \mid A\right\rangle=\varphi_A\left(p^{\prime}\right)$.
在这个表象中,态矢$|A\rangle$便可以用它的坐标集合,即函数$\varphi_A\left(p^{\prime}\right)$
来表示(有时称为动量波函数).同样地,也可以放䒪态矢展开语言,完全在坐标表象中将此展开式对应地写出来.
办法是将这个矢量表达式向坐标表象基矢$|\boldsymbol{r}\rangle$投影,写成

\begin{equation}
    \varphi_A(r)=\int \varphi_A\left(p^{\prime}\right) \frac{\mathrm{e}^{\varphi^{\prime} r / \hbar}}{(2\pi \hbar)^{3/2}} \mathrm{~d} p^{\prime}
\end{equation}
此式只使用坐标表象的波函数语言解释:将任意态的波函数用动量本征态的波函数展开,得到的系数集合便是该态的动量波函数.
也可以将动量表象中写出来. 办法还是:将该式向动量表象基矢$|p\rangle$投影.可得

\begin{equation}
    \varphi_A(\boldsymbol{p})=\int \varphi_A\left(\boldsymbol{p}^{\prime}\right) \delta\left(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{p}^{\prime}\right) \mathrm{d} \boldsymbol{p}^{\prime}
\end{equation}

此式使用动量表象的语言表述了
向动量表象基矢投影.为此注意,动量表象基矢不随时间变化,于是可得

\begin{equation}
    \left\{\begin{aligned}
        \langle\boldsymbol{p}| \mathrm{i} \hbar \frac{\partial|\psi(t)\rangle}{\partial t}
         & =\mathrm{i} \hbar \frac{\partial\langle\boldsymbol{p} \mid \psi(t)\rangle}{\partial t}=\mathrm{i} \hbar \frac{\partial \psi(\boldsymbol{p}, t)}{\partial t}  \\
        \langle\boldsymbol{p}|\left\{\frac{\hat{p}^2}{2m}+V(\hat{r})\right\}| \psi(t)\rangle
         & =\left\{\frac{\boldsymbol{p}^2}{2m}+V\left(\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial \boldsymbol{p}}\right)\right\}\langle\boldsymbol{p} \mid \psi(t)\rangle \\
         & =\left\{\frac{\boldsymbol{p}^2}{2m}+V\left(\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial \boldsymbol{p}}\right)\right\} \psi(\boldsymbol{p}, t)
    \end{aligned}\right.
\end{equation}

即
\begin{equation}
    \mathrm{i} \hbar \frac{\partial \psi(\boldsymbol{p}, t)}{\partial t}=\left\{\frac{p^2}{2m}+V\left(\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial p}\right)\right\} \psi(\boldsymbol{p}, t)
\end{equation}

这就是动量表象中的Schrödinger方程，方程的自变数为$(\boldsymbol{p}, t)$ 。
另外，在动量表象中也可对任意矩阵元进行计算.例如，对动能算符在动量表象中的矩阵元，有

\begin{equation}
    \langle\boldsymbol{p}^{\prime}|\frac{\hat{\boldsymbol{p}}^2}{2m}| \boldsymbol{p}^{\prime \prime}\rangle=\frac{\boldsymbol{p}^{n2}}{2m}\left\langle\boldsymbol{p}^{\prime} \mid \boldsymbol{p}^{\prime \prime}\right\rangle=\frac{\boldsymbol{p}^{\prime \prime2}}{2m} \delta\left(\boldsymbol{p}^{\prime}-\boldsymbol{p}^{\prime \prime}\right)
\end{equation}

可知，动量算符在自己的表像中是对角的。当然也可以通过插入坐标表象完备条件，转入坐标表象进行。结果是一样的。
对一般矩阵元，也可以类似于坐标表象中的做法，通过插入动量表象完备条件，转入动量表象来表述。这里省略。

由于势能$V$的函数形式（通常比动能$T$ ）复杂，算符
$V\left(\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial p}\right)$通常很复杂，
除概念分析外，实际计算中动量表象远没有坐标表象有用.

\subsubsection*{能量表象}
此表象通常取相互对易的三个算符（ $H , L^2$和$L_z$ ）的共同本征态$\{|n l m\rangle, \forall n l m\}$
作为展开基矢。由于此时基矢编号（ $n l m$ ）通常是离散的，所以完备性条件为

\begin{equation}
    \sum_{n l m}|n l m\rangle\langle n l m|=I
\end{equation}

任意矢量或矢量方程向这组基矢投影（若多因子乘积情况还须插入能量表象基矢完备性条件），
便进入了能量表象。任一态矢$|A\rangle$向此表象基矢投影的坐标集合是如下展式中一组系数
$\left\{a_{\text {slm }}=\langle n l m \mid A\rangle\right\}$ ：

\begin{equation}
    A\rangle=\sum_{n l m} a_{n l m}|n l m\rangle
\end{equation}


这组系数$\left\{a_{\text {nim }}\right\}$就是态矢$|A\rangle$在能量表象中的表示，
是态矢$|A\rangle$在能量表象中的"波函数".可以在坐标表象中重写出来，即向坐标表象投影,得

\begin{equation}
    \varphi_A(\boldsymbol{r})=\sum_{n i m} a_{n i m} \psi_{n i m}(\boldsymbol{r})
\end{equation}

与此相应，展开系数用坐标波函数表述出来便是

\begin{equation}
    \begin{aligned}
        a_{n l m} & =\langle n l m \mid A\rangle=\int \mathrm{d} r\langle n l m \mid r\rangle\langle r \mid A\rangle \\
                  & =\int \psi_{n l m}^*(r) \varphi_A(r) \mathrm{d} r=\left(\psi_{n l m}, \varphi_A\right)
    \end{aligned}
\end{equation}

当然,也可以用向动量基矢投影办法,在动量表象中写出.从略.

注意,由于能量表象基矢编号( nlm )通常是离散的.于是,能量表象形式的特点是:代表态矢的展开系数
$\left\{A_{\text {nim }}\right\}$是断续的.与此相应,
作用于态矢并使态矢改变的各种力学量算符便具有了可数的无穷维Hermite矩阵的形式.
比如,态矢$|A\rangle$在某个算符$\hat{\Omega}$作用下变换为态矢$|B\rangle$,

\begin{equation}
    \hat{\Omega}|A\rangle=|B\rangle
\end{equation}

这个态矢方程用能量表象来表述就是,将此矢量方程向能量表象的基矢$|n l m\rangle$投影。
设其中态矢$|A\rangle$和$|B\rangle$在能量表象的基矢中展开式为

\begin{equation}
    |A\rangle=\sum_{\left.n^{\prime}\right\rangle m^{\prime}} a_{n^{\prime} l^{\prime} m^{\prime}}\left|n^{\prime} l^{\prime} m^{\prime}\right\rangle, \quad|B\rangle=\sum_{n^{\prime} l^{\prime} m^{\prime}} b_{n^\prime l^\prime m^{\prime} \mid}\left|n^{\prime} l^{\prime} m^{\prime}\right\rangle
\end{equation}

于是

\begin{equation}
    \langle n l m|\sum_{n^{\prime} l^{\prime} m^{\prime}} a_{n^\prime l^{\prime} m^{\prime}} \hat{\Omega}| n^{\prime} l^{\prime} m^{\prime}\rangle=\langle n l m|\sum_{n^{\prime} l^{\prime}m^{\prime}} b_{n^\prime l^{\prime}m^{\prime}}| n^{\prime} l^{\prime} m^{\prime}\rangle
\end{equation}


也即

\begin{equation}
    \sum_{n^{\prime} l^{\prime}m^{\prime}}\left\langle n l m|\hat{\Omega}| n^{\prime} l^{\prime} m^{\prime}\right\rangle a_{n^{\prime} l^{\prime} m^{\prime}}=b_{n l m}
\end{equation}

为书写简明,脚标的一组量子数$(n l m)$用一个符号$i$表示,记$\hat{\Omega}$矩阵元为$\omega_{i j}$,得

\begin{equation}
    \sum_j \omega_{i j} a_j=b_i, \quad\omega_{i j}=\langle i|\hat{\Omega}| j\rangle
\end{equation}


于是便成了如下矩阵形式:

\begin{equation}
    \left(\begin{array}{ccc}
        \omega_{11} & \omega_{12} & \cdots \\
        \omega_{21} & \omega_{22} & \cdots \\
        \vdots      & \vdots      &
    \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
        a_1 \\
        a_2 \\
        \vdots
    \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
        b_1 \\
        b_2 \\
        \vdots
    \end{array}\right)
\end{equation}


这里矩阵$\left(\omega_{i j}\right)$ 、
矢量$\left(\begin{array}{c}a_1\\ a_2\\ \vdots\end{array}\right)$
和$\left(\begin{array}{c}b_1\\ b_2\\ \vdots\end{array}\right)$
分别表示能量表象中的算符$\hat{\Omega}$ 、态矢$|A\rangle$和$|B\rangle$.
当然,也可以向坐标表象或动量表象投影,得出相应的表达式.

注意,在含时框架下,能量表象的基矢均有一个含时相因子$\mathrm{e}^{-i E / h}$,
如果物理图像是算符$\hat{\Omega}$扰动使原子能级由$j \rightarrow i$跃迁.
所以矩阵元$\omega_{i j}$将正比于$\exp \left\{-\mathrm{i}\left(E_j-E_i\right) t / \hbar\right\}$,
时间因子中的频率$\left(E_j-E_i\right) / \hbar=\omega_j-\omega_i$体现了光谱学中的Ritz组合定则.
实际上,这正是矩阵力学创始人Heisenberg思考的出发点之一.

\subsubsection*{小结}
上面讨论表明,如果取坐标表象描述一个量子体系,由于坐标算符本征值是连续变化,
状态便用坐标的连续函数——波函数表示,而(作用在波函数上并改变它们的）
力学量算符便一般地表现为微分算符一一除了只含坐标的力学量,由于是在自身的表象中,所以表现为普通坐标函数.

\begin{note}
    坐标表象最先由Schrödinger提出,所以这一表象也常称为Schrödinger表象.在这种表述下的量子力学常被称为波动力学.
\end{note}

另一方面,如果取能量表象来描述这个量子体系,由于基矢通常是离散的,状态便用一组可数的复常数作成列矢量来描述,
而力学量算符便相应地变成Hermite矩阵.一般地说,这些矩阵是无限维的.
如果问题只涉及某个给定能量数值下状态的子空间(即部分状态),设此时独立状态总数为$n$个,
则任一状态便可表示为一个$n$分量的列矢量,而(作用在这些列矢量上并改变它们的)任一力学量算符也就成了$n$阶Hermite矩阵.

\begin{note}
    能量表象最先由Heisenberg提出，所以这一表象也常称为Heisenberg表象.在这种表述下的量子力学有时称为矩阵力学.
\end{note}

具体计算一个物理量时,可以选取任何表象进行.

\begin{example}
    计算$\hat{\boldsymbol{p}}$在归一态$|A\rangle$中的平均值.
\end{example}

如果取坐标表象来表述这个平均值,办法如同上面做的那样,在适当地方插入坐标基矢的完备条件,即

\begin{equation}
    \begin{aligned}
        \overline{\hat{p}} & =\langle A|\hat{\boldsymbol{p}}| A\rangle=\iint\left\langle A \mid \boldsymbol{r}^{\prime}\right\rangle\left\langle\boldsymbol{r}^{\prime}|\hat{\boldsymbol{p}}| \boldsymbol{r}^{\prime \prime}\right\rangle\left\langle\boldsymbol{r}^{\prime \prime} \mid A\right\rangle \mathrm{d} \boldsymbol{r}^{\prime} \mathrm{d} \boldsymbol{r}^{\prime \prime}                         \\
                           & =\iint \psi_A^{\prime}\left(\boldsymbol{r}^{\prime}\right) \cdot\left[\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial \boldsymbol{r}^{\prime \prime}}\left\langle\boldsymbol{r}^{\prime} \mid \boldsymbol{r}^{\prime \prime}\right\rangle\right] \cdot \psi_A\left(\boldsymbol{r}^{\prime \prime}\right) \mathrm{d} \boldsymbol{r}^{\prime} \mathrm{d} \boldsymbol{r}^{\prime \prime}
    \end{aligned}
\end{equation}
接着

\begin{equation}
    \begin{aligned}
        \overline{\hat{p}} & =\iint \psi_A^*\left(\boldsymbol{r}^{\prime}\right) \psi_A\left(\boldsymbol{r}^{\prime \prime}\right)\left[\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial \boldsymbol{r}^{\prime \prime}} \delta\left(\boldsymbol{r}^{\prime}-\boldsymbol{r}^{\prime \prime}\right)\right] \mathrm{d} \boldsymbol{r}^{\prime} \mathrm{d} \boldsymbol{r}^{\prime \prime}  \\
                           & =\iint \psi_A^*\left(\boldsymbol{r}^{\prime}\right) \delta\left(\boldsymbol{r}^{\prime}-\boldsymbol{r}^{\prime \prime}\right)\left[-\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial \boldsymbol{r}^{\prime \prime}} \psi_A\left(\boldsymbol{r}^{\prime \prime}\right)\right] \mathrm{d} \boldsymbol{r}^{\prime} \mathrm{d} \boldsymbol{r}^{\prime \prime}
    \end{aligned}
\end{equation}

这里作了分部积分,为了将分部积分积出的边界项弃去,用了态$\psi_A$为束缚态或周期解的边条件.于是得到

\begin{equation}
    \overline{\hat{\boldsymbol{p}}}=\int \psi_A^*\left(\boldsymbol{r}^{\prime}\right)\left[-\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial \boldsymbol{r}^{\prime}} \psi_A\left(\boldsymbol{r}^{\prime}\right)\right] \mathrm{d} \boldsymbol{r}^{\prime}
\end{equation}

这就是在坐标表象里动量算符平均值的表示式,正是以前的结果.也可以采用动量表象进行计算,
这就要插入动量基矢的完备条件转入动量表象来表述.于是有

\begin{equation}
    \begin{aligned}
        \overline{\hat{p}} & =\int\left\langle A|\hat{\boldsymbol{p}}| \boldsymbol{p}^{\prime}\right\rangle\left\langle p^{\prime} \mid A\right\rangle \mathrm{d} p^{\prime} \\
                           & =\int p^{\prime}\left|\psi_A\left(p^{\prime}\right)\right|^2\mathrm{~d} p^{\prime}
    \end{aligned}
\end{equation}

显然,此权重平均表达式正是动量表象中这个平均值的含义.总括起来,对于$\hat{\boldsymbol{p}}$
在态$|A\rangle$中的平均值可以有许多种表达方式,这里给出三种,以作对照比较,即

\begin{itemize}
    \item 坐标表象: $\quad \overline{\hat{p}}=\int \psi_A^*(\boldsymbol{r})(-\mathrm{i} \hbar \nabla) \psi_A(\boldsymbol{r}) \mathrm{d} \boldsymbol{r}$
    \item 动量表象: $\quad \overline{\hat{p}}=\int \psi_A^*(p) p \psi_A(p) \mathrm{d} p$
    \item 无表象——抽象的Dirac符号表示: $\overline{\hat{p}}=\langle A|\hat{p}| A\rangle$

\end{itemize}
对于其他力学量算符平均值、各种标积和矢量方程都不难参照进行.
\subsection{Dirac符号下的表象变换}

从坐标表象向动量表象的变换——Fourier积分变换,现在就可以表示为

\begin{equation}
    \begin{aligned}
        U      & =\int \mathrm{d} r\langle p \mid r\rangle                              \\
        U^{-1} & =\int \mathrm{d} p^{\prime}\left\langle r \mid p^{\prime}\right\rangle
    \end{aligned}
\end{equation}


注意变换矩阵$U$的行标$\boldsymbol{p}$和列标$\boldsymbol{r}$均为连续变化,
$U^{-1}$也类似.于是,波函数$\psi_A(r) \rightarrow \psi_A(p)$以及$\psi_A(p) \rightarrow \psi_A(r)$
的两个变换过程可分别表示为

\begin{equation}
    \begin{gathered}
        \langle p \mid A\rangle=\int \mathrm{d} r\langle p \mid r\rangle\langle r \mid A\rangle \\
        \langle r \mid A\rangle=\int \mathrm{d} p^{\prime}\left\langle r \mid p^{\prime}\right\rangle\left\langle p^{\prime} \mid A\right\rangle
    \end{gathered}
\end{equation}

简单计算可以验证， $U^{-1}$和$U$相乘是个恒等变换：得到用坐标表示的类似形式.

举个表象变换的例子。利用Dirac符号,容易将（动能算符在动量表象中的矩阵元)转换到(动能算符在坐标表象中的矩阵元).


\begin{equation}
    \begin{aligned}
        \left\langle p^{\prime}\left|\frac{\hat{p}^2}{2m}\right| p^{\prime \prime}\right\rangle & \rightarrow U^{-1}\left(\frac{\hat{p}^2}{2m} \text {在动量表象矩阵元}\right) U                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              \\
                                                                                                & =\iint\left\langle r^{\prime} \mid p^{\prime}\right\rangle \mathrm{d} \boldsymbol{p}^{\prime} \cdot\left\langle\boldsymbol{p}^{\prime}\left|\frac{\hat{p}^2}{2m}\right| p^{\prime \prime}\right\rangle \cdot \mathrm{d} p^{\prime \prime}\left\langle p^{\prime \prime} \mid r^{\prime \prime}\right\rangle=\left\langle r^{\prime}\left|\frac{\hat{p}^2}{2m}\right| r^{\prime \prime}\right\rangle
    \end{aligned}
\end{equation}

最后一步等号是由于用了动量表象基矢完备性条件.注意由于结果为坐标表象的矩阵元,
所以代入时无对$\boldsymbol{r}^*$积分.由此看出,采用Dirac符号能十分简明地实现表象变换.
\begin{align*}
    \frac{\boldsymbol{p}^{\prime\prime2}}{2m} \delta\left(\boldsymbol{p}^{\prime}-\boldsymbol{p}^{\prime \prime}\right)
     & \rightarrow \iint\left\langle\boldsymbol{r}^{\prime} \mid \boldsymbol{p}^{\prime}\right\rangle \mathrm{d} \boldsymbol{p}^{\prime} \cdot \frac{\boldsymbol{p}^{\prime \prime2}}{2m} \delta\left(\boldsymbol{p}^{\prime}-\boldsymbol{p}^{\prime \prime}\right) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{p}^{\prime \prime}\left\langle\boldsymbol{p}^{\prime \prime} \mid \boldsymbol{r}^{\prime \prime}\right\rangle \\
     & =\frac{1}{(2\pi \hbar)^3} \int \mathrm{e}^{\mathrm{i} \boldsymbol{p}^{\prime} \cdot \boldsymbol{r}^{\prime} / \hbar} \frac{\boldsymbol{p}^{\prime2}}{2m} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\vecp \cdot \boldsymbol{r}^{\prime} / \hbar} \mathrm{d} \boldsymbol{p}^{\prime}                                                                                                                                         \\
     & =-\frac{\hbar^2}{2m} \Delta^{\prime} \cdot \frac{1}{(2\pi \hbar)^3} \int \mathrm{e}^{\mathrm{i} \boldsymbol{p}^{\prime} \cdot\left(\vecr^{\prime} - \boldsymbol{r}^{\prime\prime}\right) / \hbar} \mathrm{d} \boldsymbol{p}^{\prime}                                                                                                                                                                    \\
     & =-\frac{\hbar^2}{2m} \Delta^{\prime} \delta\left(\boldsymbol{r}^{\prime}-\boldsymbol{r}^{\prime \prime}\right)
\end{align*}